Nur Inayah Mutmainnah's blog

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas materi mengenai Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat. Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial `\frac{f(x)}{g(x)}=\frac A{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^2+qx+r'}` berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan  A,B, dan C Contoh 1.` \int\frac{6x^2-3x+1}{(4x+1)(x^2+1)}dx` Karena integran fungsi rasional sejati maka ` \int\frac{6x^2-3x+1}{(4x+1)(x^2+1)}dx` = `\int\frac A{(4x+1)}+\int\frac{Bx+C}{(x^2+1)}dx` = `\int\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(4x+1)}{(4x+1)(x^2+1)}dx` = `\int\frac{(A+4B)x^2+(B+4C)x+(A+C)}{(4x+1)(x^2+1)}dx` Diperoleh A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga: ` \int\frac{6x^2-3x+1}{(4x+1)(x^2+1)}dx...

  Integral Fungsi Rasional Faktor Linear      Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk Integral Fungsi Rasional Faktor Linear Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`, dimana `f(x), g(x)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g(x)\ne0`. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f(x)\ =\ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3a_nx^n=\ 1,\ 2,\ 3,\;...,` sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac{f(x)}{g(x)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom. Contoh 1.  `F(x)=\frac{1-x}{x^2-3x+2}`(Fungsi Rasional Sejati) 2.  `F(x)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}`(Fungsi Rasional Tidak Sejati) 3.  `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`(Fungsi Rasional Tidak Sejati) Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama...

Integral parsial dapat disebut sebagai rumus integral substitusi ganda karena menggunakan dua buah substitusi. Teknik ini digunakan untuk menyelesaikan integral `\int`𝑢 𝑑𝑣, dimana 𝑢 dan 𝑣 merupakan fungsi-fungsi dalam variabel x.  Misalkan fungsi 𝑢 = 𝑢(𝑥) dan fungsi 𝑣 = 𝑣(𝑥). Hasil kali kedua fungsi itu ditentukan oleh 𝑦 = 𝑢𝑣. Berdasarkan aturan turunan hasil kali fungsi-fungsi, maka diperoleh hubungan:  𝑦 ′ = 𝑢 ′𝑣 + 𝑢𝑣′ `\Rightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}` `\Rightarrow dy=v\ du+u\ dv` Masing-masing ruas diintegralkan `\Rightarrow\int dy=\int(v\ du+u\ dv)` `\Rightarrow\int dy=\int v\ du+\int u\ dv` `\Rightarrow y=\int v\ du+\int u\ dv` `\Rightarrow uv=\int v\ du+\int u\ dv` `\Rightarrow\int u\ dv=uv-\int v\ du` Hubungan di atas menunjukkan bahwa integral ∫ 𝑢 𝑑𝑣 dapat diubah menjadi integral ∫ 𝑣 𝑑𝑢 dan sebaliknya. Untuk menggunakan rumus integral parsial, perlu diperhatikan bahwa bagian yang dipilih sebagai 𝑑𝑣 h...

  Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk: `\sqrt{a^2-x^2},\ a>0,\ a\in\ Real` `\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2+x^2},\ a>0,\ a\in\ Real` `\sqrt{x^2-a^2},\ a>0,\ a\in\ Real` Bentuk integrannya diantaranya, 1. `\sqrt{a^2-x^2}` gunakan substitusi  `x\ =\ a\ \sin\ t\ \Leftrightarrow dx\ =\ a\ \cos\ t\ dt`      `x = a sin t` atau `sin t`  = `\frac{x}{a}` `x\ =\ a\ \sin\ t\ \Leftrightarrow dx\ =\ a\ \cos\ t\ dt`   Dengan `-\frac{\pi}2\leq t\leq\frac{\pi}2`sehingga, `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-{(a\;\sin\;t)}^2}`                        =`\sqrt{a^2(1-\sin^2t)}`                        =  `a cos t` 2. `\sqrt{a^2+x^2}` gunakan substitusi `x = a tan t` ...

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah: Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah: A.    `\int\sin^mx\ dx\ dan\ \int\cos^mx\ dx` dengan m bilangan ganjil atau genap positif a.  Jika m bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi ( 𝑚 − 1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas `\sin^2x+\cos^2x=1`. `\int\sin^3x\ dx.` Alternatif Penyelesaian : `\int\sin^3x\ dx.`=`\int\sin^{(3-1)+1}x\ dx`                            =`\int\sin^2x\ \sin\ x\ dx`                            =`\int(1-\cos^2x)...