Langsung ke konten utama

Integral Subtitusi Trigonometri

 


Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

`\sqrt{a^2-x^2},\ a>0,\ a\in\ Real`

`\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2+x^2},\ a>0,\ a\in\ Real`

`\sqrt{x^2-a^2},\ a>0,\ a\in\ Real`

Bentuk integrannya diantaranya,

1. `\sqrt{a^2-x^2}` gunakan substitusi 

`x\ =\ a\ \sin\ t\ \Leftrightarrow dx\ =\ a\ \cos\ t\ dt`     

`x = a sin t` atau `sin t` = `\frac{x}{a}`

`x\ =\ a\ \sin\ t\ \Leftrightarrow dx\ =\ a\ \cos\ t\ dt`  

Dengan `-\frac{\pi}2\leq t\leq\frac{\pi}2`sehingga,

`\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-{(a\;\sin\;t)}^2}`

                      =`\sqrt{a^2(1-\sin^2t)}`

                      = `a cos t`

2. `\sqrt{a^2+x^2}` gunakan substitusi

`x = a tan t` atau `tan t` = `\frac{x}{a}`

`x\ =\ a\ \tan\ t\ \Leftrightarrow dx\ =\ a\ \sec^2\ t\ dt`

Dengan `-\frac{\pi}2\leq t\leq\frac{\pi}2`sehingga,

`\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+{(a\;\tan\;t)}^2}`

                       =`\sqrt{a^2(1+\tan^2t)}`

                       = `a sec t`

3. `\sqrt{x^2-a^2}` gunakan substitusi

`x = a sec t` atau `sec t` = `\frac{x}{a}`

`x\ =\ a\ \sec\ t\ \Leftrightarrow dx\ =\ a\ \sec\ t\tan\ t\dt`

Dengan `0\leq t\leq\frac{\pi}2 \ (x\geq a)`

Dan `\frac{\pi}2\leq t\leq\pi\ \ (x\leq-a)`

Sehingga,

`\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{(a\ \sec\ t)^2-a^2}`

                        =`\sqrt{a^2\ \sec\ t^2\ t-a^2}`

                        = `a tan t`

Catatan Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, csc t . Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

`\int\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}`

Kita dapat mengubah `\int\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}`

menjadi `\int\frac{dx}{\sqrt{4-{(x-2)}^2}}`

Substitusi `x – 2` = `2 sin t` 

`\Leftrightarrow dx=2\cos\ t\ dt`

`\sqrt{4-{(x-2)}^2}=2\cos\ t`

Sehingga,

`\int\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}`

=`\int\frac{2\ \cos\ t\ dt}{2\ \cos\ t}`

=`\int\dt`

= `t + C`

=`arc\ \sin\left(\frac{x-2}2\right)+\ C`

`\int\frac{dx}{\sqrt{9+x^2}}`

Subtitusikan `x = 3 tan t`

`\Leftrightarrow dx\ =\ 3\ sec^2t\ dt`

`\sqrt{9+x^2}=\sqrt{9+9\ \tan^2t}=3\ sec\ t`

Sehingga 

`\int\frac{dx}{\sqrt{9+x^2}}`

=`\int\frac{3\ sec^2t\ dt}{3\ sec\ t}`

=`\int sec\ t\ dt`

=`\ln\left|sec\ t+\tan\ t\right|+\ C`

=`\ln\left|\frac{\sqrt{9+x^2}}3+\frac x3\right|+\ C`

=`\ln\left|\sqrt{9+x^2}+x\right|+\ C`

`\int\frac{\sqrt{x^2-9}}{x} dx`

Subtitusikan `x = 3 sec t`

`\Leftrightarrow dx\ =\ 3\ sec\ t\ \tan\ t\ dt`

`\sqrt{x^2-9}=\ 3\ \tan\ t`

Sehingga 

`\int\frac{\sqrt{x^2-9}}{x} dx`

=`\int\frac{3\ \tan\ t}{3\ sec\ t}(3\ sec\ t\ \tan\ t\ dt)`

=`3\int\tan^2t\ dt`

=`3\int(sec^2t\ -\ 1)\ dt`

= `3 tan t – 3 t + C`                 

=`3\frac{\sqrt{x^2-9}}3-3\ arc\ sec\frac x3+C`


Mungkin itu saja informasi yang bisa saya berikan terkait materi integral tak tentu, soal dan pembahasan. Semoga bermanfaat.


Label:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Integral Tentu - Pendahuluan Luas

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas materi Integral Tentu.  Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang. 1.Luas Menurut Poligon Dalam Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2` , sumbu –x, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang `0\leq x\leq2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `\triangle x=2/n`, dan memakai titik-titik : `0=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=2`, sehingga: `x_0=0 x_1=0+\triangle x=2/n=1\left(2/n\right)` `x_2=0+2\triangle x=4/n=2\left(2/n\right)` `x_3=0+3\triangle x=6/n=3\left(2/n\right)` . . . `x_n=0+n\triangle x=n\left(2/n\right)=2` Pada gambar tampak bahwa `L\left(P\right)_{dalam}<L\left(P\right)_{luar}` Luas poligon dalam : `L\left(P_{dalam}\right...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Integral Tentu - Pengertian, Sifat-sifat, Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan mengenai materi Integral Tentu yakni Pengertian, Sifat-sifat, serta  Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata. Simak pembahasannya di bawah ini! 1.   Pengertian Integral Tentu Misalkan L adalah luas di bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, maka luas L ditentukan oleh hubungan `L=\int_a^bf(x)\ dx` Bentuk   `\int_a^bf(x)\ dx`dinamakan sebagai integral tentu atau integral Riemann dan   `\int_a^bf(x)\ dx` dibaca sebagai integral tentu f(x) terhadap x untuk x = a sampai x = b. Untuk menentukan nilai dari `\int_a^bf(x)\ dx`, kita dapat menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang ditemukan secara terpisah oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727) di Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716) di Jerman. Teorema Dasar Kalkulus Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secar...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Aplikasi Integral Tertentu - Volume Benda Putar Bagian 1

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan dari materi Aplikasi Integral Tertentu yaitu Volume Benda Putar. Simak pembahasannya di bawah ini.   B. Volume Benda Putar   Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar 1. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas dikalikan tinggi h, yakni  V=A . h Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada adalah x adalah `A(x)` dengan `a\leq x\leq b` (Gambar 2). Kita partisikan interval dengan menyisipkan titik-titik `a=x_0<x_1<x_2<...<x_i=b`. Kemudian kita lewatkan bidang-b...
Posting Komentar
Baca selengkapnya