Integral Tentu - Pengertian, Sifat-sifat, Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan mengenai materi Integral Tentu yakni Pengertian, Sifat-sifat, serta Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata. Simak pembahasannya di bawah ini!

1.  Pengertian Integral Tentu

Misalkan L adalah luas di bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, maka luas L ditentukan oleh hubungan

`L=\int_a^bf(x)\ dx`

Bentuk  `\int_a^bf(x)\ dx`dinamakan sebagai integral tentu atau integral Riemann dan  `\int_a^bf(x)\ dx` dibaca sebagai integral tentu f(x) terhadap x untuk x = a sampai x = b.

Untuk menentukan nilai dari `\int_a^bf(x)\ dx`, kita dapat menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang ditemukan secara terpisah oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727) di Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716) di Jerman.

Teorema Dasar Kalkulus

Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secara permanen.

Andaikan f fungsi kontinu pada selang [a,b] dan andaikan F fungsi sebarang anti turunan dari f, maka:

`\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)`

Bukti:

Karena f kontinu pada selang [a, b] maka `{f}` terintegralkan. Andaikan `P: a=x_1<x_2 <x_3<\ldots x_{\{n}-1<\x_n=b` adalah partisi sebarang pada selang [a,b] dengan membuat jumlahan yang saling menghapuskan:

`F(b)-F(a)=\left(F\left(x_{n}\right)-F\left(x_{n-1}\right)\right)+\left(F\left(x_{n-1}\right)-F\left(x_{n-2}\right)\right)+\ldots+\left(F\left(x_{1}\right)-F\left(x_{0}\right)\right)`

`F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}\left(F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right)`

Dengan teorema nilai rata-rata untuk turunan, maka terdapat `\overline{x_{i}}` pada selang bagian `\left[x_i, \X_i-1}\right]` sedemikian hingga berlaku:

`F(x_i)-F\left(x_i-1\right)=F^{\prime}(\overline{x_i}) (\x_i - \x_{i-1})` 

`=F (\overline{x_i}) \Delta \x_i`

sehingga, `F(b)-F(a)=\sum_i=1^n f\left(\bar x_i\right) \Delta x_i`

Karena ruas kiri berupa konstanta, maka berlaku: 

`F(b)-F(a)=Lim_P \rightarrow 0 \sum_i=0^n f\left(\bar x_i\right) \Delta x_i=\int_a^b f(x) d x`

Contoh 1 

`\int_{-1}^{2} x^{2} d x=1 / 3 x^{3}\right]_{-1}^{2}=1 / 3\left(2^{3}-(-1)^{3}\right)=3`

Contoh 2

`\int_{0}^{\π} \Sin x dx =-\Cos x\right]_{0}^{\pi}=-(\Cos π - Cos 0)=-(-1-1)=2`

Contoh 3

`\int_{0}^{1 / 4 \pi} \Sin^{3} 2 x \cos 2 x d x =1 / 2| \int_{0}^{1 / 4 \pi} \Sin^{3} 2 x d(\{Sin} 2 x)`

`=1 /2 \cdot \frac{\Sin^{4} 2 x}{4}\|_{0} ^{1 / 4 \π}`

`=1 / 8\left(\Sin^{4} 1 / 2 \π-\Sin^{4} 0\)`

`=1 / 8(1-0)=1 / 8`

Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendefrensialan integral tentu, yaitu:

Jika f kontinu pada selang [a, b]dan x adalah sebuah (variabel) titik dalam[a, b] Maka

`\frac{d}{d x}\left(\int_{a}^{x} f(t) d t\right)=f(x)`

Keterangan:

`\frac{d}{d x}\left(\int_{a}^{x} f(t) d t\=\frac{d}{d x}\(F(t))\|_{a} ^{x}=\frac{d}{d x}(F(x)-F(a))=f(x)` sebab F(a) adalah konstanta. 

Contoh 4

`\frac{d}{d x}\left(\int_{0}^{x^{2}}(3 t+1) d t\right)`

`=\frac{d}{d x}|3 / 2 t+t|_{0}^{x^{2}}`

`=\frac{d}{d x}\left(3 / 2 x^{4}+x^{2}\right)`

`=6 x^3+2 x`

Untuk contoh 4 di atas, dapat pula diselesaikan dengan aturan rantai sebagai berikut: 

`D_{x}\left(\int_{0}^{x^{2}}(3 t+1) d t\right)=\ldots \ldots`

karena batas `{x}^{2}` maka digunakan aturan rantai, sehingga menjadi `\int_{0}^{u}(3 t+t) d t`, dimana `u=x^2` dan turunan terhadap x dari fungsi bersusun ini adalah:

`D_{u}\left(\int_{0}^{u}(3 t+t) d t\right) \cdot D u =(3 u+1) \cdot 2 x`

`=\left(3 x^2+1\right) \cdot 2 \x`

`=6 \x^3 +2 \x`

2.  Rumus-Rumus Integral Tentu

Jika f dan g fungsi terintegralkan pada selang [a,b] dan k konstanta, maka:

(1) `\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x`

(2) `\int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x`

(3) `\int_{a}^{b}(f(x)-g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x-\int_{a}^{b} g(x) d x`

(4) `\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x, a>b`

(5) `\int_{a}^{c} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{b}^{c} f(x) d x, a b \in[a, c]`

Contoh 1

`\int_{-1}^{2} 6 x^{2} d x=6 \int_{-1}^{2} x^{2} d x=6.1 /3 x^{3}|_{-1} ^{2}=2\left(2^{3}-(-1)^{3}\right)=18`

Contoh 2

`\int_{-1}^{2}\left(6 x^{2}-4 x\right) dx`

`=\int_{-1}^{2} 6 x^{2} d x-\int_{-1}^{2} 4 x^{2} dx`

`=2 x^{3}|_{-1} ^{2}-.2 x^{2}|_{-1} ^{2}`

`=2\left(2^{3}-(-1)^{3}-2\left(2^{2}-(-1)^{2}\right)`

`=12`

Contoh 3

Bila `|x|` menyatakan nilai mutlak, hitunglah `\int_{-1}^{3}|x| dx`

Jawab :

`F(x)=|x|` berubah nilainya pada titik x=0, sehingga harus diselesaikan sebagai berikut (lihat gambar):

`\int_{-1}^{3}|x| dx`

`=\int_{-1}^{0}|x| d x+\int_{0}^{3}|x| dx`

`=\int_{-1}^{0}(-x) d x+\int_{0}^{3} x dx=1+3=4`

`= -1/2 x^{2}\|_{-1} ^{0}+1 /2 x^{2}\|_{0} ^{3}`

`=\frac{-1}{2} + \frac{9}{2}=5`

Contoh 4

Bila [x] menyataakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari x , hitunglah:

` \int_{-1}^{1}[2 x] dx`

Jawab:

Karena fungsi f(c)=[2x] berubah nilainya bila, `x=\frac{k}{2}` untuk k bilaangan bulat

 (lihat gambar): 

`\int_{-1}^{1}[2 x] dx`

`=\int_{-1}^{-1 / 2}[2 x] d x+\int_{-1 / 2}^{0}[2 x] dx+\int_{0}^{1 / 2}[2 x] d x+\int_{1 / 2}^{1}[2 x] dx`

`= \int_{-1}^{-1 / 2}(-2 x) d x+\int_{-1 / 2}^{0}(-1) d x+\int_{0}^{1 / 2}(0) d x+\int_{1 / 2}^{1}(1) dx`

`=(-1)+(-1 / 2)+(0)+(1 / 2)=-1`

3.  Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

a). Teorema Simetri

Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap jika `F(-x)=F(x)` dan ganjil jika `F(-x) =-F (x)` .

Untuk fungsi yang demikian berlaku:

(1) `\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) dx`, jika f fungsi genap,

(2) `\int_{-a}^{a} f(x) d x=0`, jika f fungsi ganjil

Contoh 

`\int_{-\pi}^{\pi} \ Cos \left(1 / \frac{x}{4} 7 \sqrt{x}\) dx =\cdots`

`f(x)= Cos \left(1 / \frac{x}{4} 7 \sqrt{x}\right)`

`\f(x)= Cos \left(-\frac{x}{4}\right)=\ Cos \left(\frac{x}{4}\right)=f(x)`

Karena, f(-x) =f(x) maka `f(x)=\cos \left(\frac{x}{4}\right)` adalah fungsi genap, sehingga,

`\int_{-\pi}^{\pi} \Cos\left(\frac{x}{4}\right) dx`

`=2 \int_{-\pi}^{\pi} \Cos\left(\frac{x}{4}\right) dx`

`=8 \int_{0}^{\pi} \Cos\left(\frac{x}{4}\right) d\left(\frac{x}{4}\right)`

`=8 \Sin\left(\frac{x}{4}\right)\right|_{0} ^{\pi}`

`=8( Sin  1 / 4 \pi-\ Sin 0)`

`=8(1 / \sqrt{2}-0)`

`=4 \sqrt{2}`

b). Teorema Periodik

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan P sedemikian sehingga `F(x+p) =F(x)` untuk semua bilangan rill dalam definisi daerah.Bilangan P adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika F suatu periodik dengan periode P, maka:

`\int_{a+p}^{b+p} f(x) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx`

Contoh

Hitunglah `\int_{0}^{2 \pi}|\Sin| dx`

Karena  `f(x)=|\Sin x|` fungsi periodik dengan periode `\pi`, (lihat gambar), maka

`\int_0^2 \pi|\Sin x|dxc`

`=\int_0^\pi|\Sin x| d x+\int_\pi^2 \pi Sin x| dx`

`=\int_0^\pi|\Sin x| dx +\int_0+\pi^\pi+\pi|\Sin x| dx`

`=\int_0^\pi|\Sin x| dx+\int_0^\pi|\{Sin} x| dx`

`=2 \int_0^\pi|\ Sin x| dx`

`=2 \int_0^\pi \Sin x dx`

`=2(-\Cos x)\right|_{0} ^\pi`

`=2(-\Cos \pi-(-\Cos 0))`

`=2(-(1)-(-1))`

`=4`

c). Teorema Nilai Rata-Rata Untuk Integral

Jika f fungsi kontinu pada selang `[a, b]`, maka terdapat suatu c diantara a dan b sedemikian sehingga:

`\int_{a}^{b} f(x) d x=f(c)(b-a)`

Contoh

Carilah nilai c demikian sehingga `\int_{1}^{3} f(x) d x=f(c)(3-1), jika f(x)=x^{2}`

Jawab:

Dari `\int_{1}^{3} f(x) dx=\int_{1}^{3} x^{2} dx=26 / 3` maka `f(c) .2=26 / 3`, yaitu `c^{2} \cdot 2=26 / 3` `\quad c =\pm 1 / 3 V 39`. Untuk `c=-1 / 3 V 39`  tidak memenuhi karena tidak terletak dalam selang [1,3]. Jadi c =1 / 3 V 39

Mungkin itu saja informasi yang bisa saya berikan terkait lanjutan materi Integral Tentu. Semoga bermanfaat.