Integral Tentu - Pendahuluan Luas

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas materi Integral Tentu. Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang.

1.Luas Menurut Poligon Dalam Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2` , sumbu –x, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang `0\leq x\leq2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `\triangle x=2/n`, dan memakai titik-titik :

`0=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=2`, sehingga:

`x_0=0 x_1=0+\triangle x=2/n=1\left(2/n\right)`

`x_2=0+2\triangle x=4/n=2\left(2/n\right)`

`x_3=0+3\triangle x=6/n=3\left(2/n\right)`

.

.

.

`x_n=0+n\triangle x=n\left(2/n\right)=2`

Pada gambar tampak bahwa `L\left(P\right)_{dalam}<L\left(P\right)_{luar}`

Luas poligon dalam :

`L\left(P_{dalam}\right)=f\left(x_0\right)\trianglex+f\left(x_1\right)\triangle x+f\left(x_2\right)\triangle x+...+f\left(x_{n-1}\right)\triangle x`

=`\left(0^2\right)\left(2/n\right)+\left(1\left(2/n\right)\right)^2\left(2/n\right)+...+\left(n-1\right)\left(2/n\right)^2\left(2/n\right)`

=`\left(2/n\right)^3\left(0^2+1^2+2^2+...+\left(n-1\right)^2\right)`

=`\left(2/n\right)\sum_{i=0}^{n-1}i^2`

=`\left(2/n\right)^3\left(1/6\left(n-1\right)\left(n\right)\left(2n-1\right)\right)`

=`8/3-4/n+4/3n^2`

Sehingga, 

`\lim_{n\rightarrow\infty}L\left(P_{dalam}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(8/3-4/n+4/3n^2\right)=8/3`

Luas poligon luar:

`L\left(P_{luar}\right)=f\left(x_1\right)\trianglex+f\left(x_2\right)\triangle x+f\left(x_3\right)\triangle x+...+f\left(x_n\right)\triangle x`

=`\left(1\left(2/n\right)^2\left(2/n\right)+\left(2\left(2/n\right)\right)^2\left(2/n\right)\right)+...+\left(n\left(2/n\right)^2\left(2/n\right)\right)`

=`\left(2/n\right)^3\left(1^2+2^2+3^2+...+n^2\right)`

=`\left(2/n\right)^n\sum_{i=1}^ni^2`

=`\left(2/n\right)^3\left(1/6n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\right)`

=`8/3+4/n+4/3n^2`

Sehingga, 

`\lim_{n\rightarrow\infty}L\left(P_{luar}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(8/3+4/n+4/3n^2\right)=8/3`

Menurut teorema apit, maka untuk `L\left(P_{dalam}\right)<L\left(P\right)<L\left(P_{luar}\right) didapat L\left(P\right)=8/3`. 

Selanjutnya, diambil suatu fungsi f yang terdefinisi pada selang `\left[a,b\right]`. Partisikan selang `\left[a,b\right]` atas n selang bagian (tidak harus sama panjang) dengan memakai titik-titik :

`a=X_0<X_1<X_2<...<X_{n-1}<X_n=b,\triangle X_i=X_i-X_{i-1} (jarak antara titik X_{i-1} dengan X_i)`.

Pada setiap selang bagian `(X_{i-1},X_i)` dipilih titik sebarang (boleh titik ujung), misalnya `\overline{X_i}` sebagai berikut: 

Sebuah partisi dari [a,b] dengan 5 selang bagian,

Jumlah: 

 `R_p=\sum_{i=0}^nf\left(x_i\right)\triangle x_i` disebut jumlah Rieman dari suatu selang dengan partisi.

Dari pembahasan di atas dengan memisalkan `\|P\|` menyatakan norma P, yatiu panjang selang bagian terpanjang dari partisi P, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut:

Andaikan f suatu fungsi yang terdiri dari pada selang `\left[a,b\right]`. Jika nilai `\lim_{\| P|\rightarrow0}\sum_{i=0}^nf\left(\overline{x_i}\right)\triangle x_i` ada, maka dikatakan bahwa f terintegralkan pada `\left[a,b\right]`, dan ditulis sebagai `\int_a^bf\left(x\right)dx=\lim_{\|P|\rightarrow0}\sum_{i=0}^nf\left(\overline{x_i}\right)\triangle x_i`, yang disebut integral tentu (atau Integral Rieman) f dari a ke b.  

Pada lambang `\int_a^bf\left(x\right)dx`, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas dari integral tersebut. 

Dalam definisi `\int_a^bf\left(x\right)dx`, secara implisit kita menganggap bahwa a<b. 

Menghilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut.

`\int_a^bf\left(x\right)dx=0`

`\int_a^bf\left(x\right)dx=-\int_b^af\left(x\right)dx,a>b`

Contoh 1:

Hitunglah luas poligon yang dibatasi oleh kurva y=1/2 x, sumbu x, garis x=2 dan x=4, jika daerah poligon tersebut dibagi atas 5 poligon bagian yang sama.

Jawab:

Karena selang [2,5] dipartisi atas 5 selang bagian yang sama, maka `\triangle x=\left(4-2\right)/5=2/5`, dan 

`x_0=2`

`x_1=2+1\triangle x=2+2/5=12/5`

`x_2=2+2\triangle x=2+4/5=14/5`

`x_3=2+3\triangle x=2+6/5=16/5`

`x_4=2+4\triangle x=2+8/5=18/5`

`x_5=2+5\triangle x=2+10/5=4`

Luas poligon dalam :

`L\left(P_{dalam}\right)=f\left(x0\right)\triangle x+f\left(x1\right)\triangle x+f\left(x3\right)\triangle x+f\left(x4\right)\triangle x`

`=\left(\frac{1}{2}\right)\left(2\right)\left(\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{12}5\right)\left(\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{14}5\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{16}5\right)\left(\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{18}5\right)\left(\frac{2}{5}\right)`

`=\left(\frac{12}{25}\right)+\left(\frac{14}5\right)+\left(\frac{18}{25}\right)+\left(\frac{20}{25}\right)`

`=\left(\frac{80}{25}\right)`

`=\left(\frac{16}5\right)`

Contoh 2:

Hitunglah jumlah Rieman `R_p` untuk `f\left(x\right)=x-1`

Dan partisi P adalah 3<3,75<4,25<5,5<6<7 serta titik-titik sampel: x1=3,x2=4,x3=4.75,x4=6,danx5=6.75. 

Jawab:

`R_p=\sum_{i=1}^5f\left(x_1\right)\triangle x`

`=\left(2\right)\left(0,75\right)+\left(3\right)\left(0,5\right)+\left(3,75\right)\left(1,25\right)+\left(5\right)\left(0,5\right)+\left(5,75\right)\left(1\right)`

=15,9375.

Contoh 3:

Hitunglah `\int_{-1}^3\left(x+4\right)dx` dengan menggunakan integral Riemann.

Jawab: 

Bagi selang [-1,3] atas n selang bagian yang sama, masing-masing sebesar `\triangle x=\left(3-\left(-1\right)\right)/n=4/n`. Pada setiap selang bagian `\left[x_{i-1},x_i\right]` digunakan `\overline x=x_i` sebagai titik sampai sehingga, 

`x0=-1`

`x1=-1+\triangle x=-1+4/n`

`x2=-1+2\triangle x=-1+2\left(4/n\right)`

`x3=-1+3\triangle x=-1+3\left(4/n\right)`

.

 

.

 

.

 

`x_i=-1+i\triangle x=-1+n\left(4/n\right)`

.

 

.

 

.

 

`xn=-1+n\triangle x=-1+n\left(4/n\right)=3`

Maka, `f(x_i) = xi + 4 =(-1+i(4/n)) +4 = 3+4i/n`

`=\sum_{i=0}^nf(\overline{x_i})x_i=\sum_{i=0}^nf(\overline{x_i})\bigtriangleup x`

`=\sum_{i=0}^n(3+4i/n)(4/n)=\sum_{i=1}^n12/n+\sum_{i=1}^n16i/n^2`

`=12/n\sum_{i=1}^n1+16i/n^2\sum_{i=1}^ni`

=`\frac{12}n(n)+-\frac{16}{n^2}\left(\frac12n(n-1)\right) `

=`20-\frac{8}{n}`

Jadi, `\int_{-1}^3(x+4)dx`=`\lim_{n\rightarrow\infty}(20-8/n)=20`

Mungkin itu saja informasi yang bisa saya berikan terkait materi Integral Tentu - Pendahuluan Luas. Semoga bermanfaat.