Langsung ke konten utama

Integral Fungsi Rasional Linear

 

Integral Fungsi Rasional Faktor Linear

    Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk Integral Fungsi Rasional Faktor Linear Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`, dimana `f(x), g(x)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g(x)\ne0`. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f(x)\ =\ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3a_nx^n=\ 1,\ 2,\ 3,\;...,` sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac{f(x)}{g(x)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Contoh

1. `F(x)=\frac{1-x}{x^2-3x+2}`(Fungsi Rasional Sejati)

2. `F(x)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}`(Fungsi Rasional Tidak Sejati)

3. `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`(Fungsi Rasional Tidak Sejati)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

`F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`

     `=x^2-3+\frac{(14x+1)}{x^3+5x}`

`F(x)=\frac{f(x)}{g(x)},g(x)\ne0`

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1.  Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut 𝑔(𝑥) dari fungsi rasional `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}` sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3.   Dalam hal langkah nomor 2 di atas, 𝑔(𝑥) dapat berupa kombinasi antara:

- fungsi linear berbeda, 

𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) … . (𝑥 − 𝑡) dstnya.

- fungsi linear berulang, 

𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)^n

        = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) … (𝑥 − 𝑎)

- fungsi linear dan kuadrat, 

𝑔(𝑥)= (𝑥 − 𝑎)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)

- fungsi kuadrat berbeda, 

𝑔(𝑥)= (`𝑎𝑥^2` + 𝑏𝑥 + 𝑐 )(`𝑝𝑥^2` + 𝑞𝑥 + 𝑐)

- fungsi kuadrat berulang, 

𝑔(𝑥)= `(𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)^2` dan seterusnya.

4.     Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal :

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1}{(ax_1+b_1)}+\frac{A_2}{(ax_2+b_2)}+...`

(Penyebut kombinasi linear berbeda)

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1}{(ax+b)}+\frac{A_2}{{(ax+b)}^2}+\frac{A_3}{{(ax+b)}^3}+...`

(kombinasi linear berulang)

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b_1x+c_1)}+\frac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+...`

(kombinasi kuadrat berbeda)

5.   Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta `A_1,\ A_2,\ ...A_n\ dan\ B_1,\ B_2,\ ...B_{n}.`

Contoh

1. Tentukan `\int\frac2{X^2-1}dx`

 Penyelesaian :

Karena integran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

`\int\frac2{X^2-1}dx`

=`\int\frac2{(x-1)(x+1)}dx`\

=`\int\frac A{(x-1)}+\frac B{(x+1)}dx`

=`\int\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}dx`

=`\int\frac{(x+1)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}dx`

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

`\int\frac2{X^2-1}dx`

=`\int\frac1{(x-1)}+\frac{-1}{(x+1)}dx`

=`\int\frac1{(x-1)}dx-\int\frac1{(x+1)}dx`

=`\ln\left|x-1\right|-\ln\left|x+1\right|+C`

=`\ln\frac{\left|x-1\right|}{\left|x+1\right|}+C`


2. `\int\frac{x+1}{x-1}dx` integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

`\int\frac{x+1}{x-1}dx`

=`\int1+\frac2{x-1}`

=`\int dx+\int\frac2{x-1}`

=`x+\ln\left|x-1\right|^2+C`

 

Contoh soal

 Tentukan hasil pengintegralan berikut:

1. `\int\frac{x+1}{x^3+x^2-6x}dx`

Penyelesaian :

`\int\frac{x+1}{x^3+x^2-6x}dx`

=`\int\frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}dx`

=`\int\frac Ax+\frac B{(x-2)}+\frac C{(x+3)}`

=`\int\frac{A(x-2)(x+3)+B(x)(x+3)+C(x)(x-2)}{x^3+x^2-6x}dx`

=`\int\frac{(A+B+C)x^2+(A+3B-2C)x=6A}{x^3+x^2-6x}dx`

Diperoleh A + B + C = 0

                   A + 3B – 2C = 1

                   -6A = 1

Atau `A=-\frac{1}{6},\ B=\frac{3}{10},\ C=-\frac{2}{15},`

Sehingga

`\int\frac{x+1}{x^3+x^2-6x}dx`

=`-\frac16\int\frac{dx}x+\frac3{10}\int\frac{dx}{(x-2)}-\frac2{15}\int\frac{dx}{(x+3)}`

=`-\frac{1}{6}\ln\left|x\right|+\frac{3}{10}\ln\left|x-2\right|-\frac2{15}\ln\left|x+3\right|+C`

 

2. `\int\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}dx`

Penyelesaian :

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:

`\int\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}dx`

=`\int1+\frac{(-5x-4)}{x^2+4x+4}dx`

=`\int1\;dx-\int\frac{5x+4}{x^2+4x+4}dx`

=`x+C_1-\int\frac{5x+4}{x^2+4x+4}dx`

Selanjutnya `\int\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}dx`

=`\int\frac{5x+4}{{(x+2)}^2}dx`

=`\int\frac A{(x+2)}+\frac B{{(x+2)}^2}dx`

=`\int\frac{A(x+2)+B}{{(x+2)}^2}dx`

-=`\int\frac{Ax+(2A+B)}{{(x+2)}^2}dx`

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:

`\int\frac{5x+4}{{(x+2)}^2}dx`

=`\int\frac5{(X+2)}dx-\int\frac6{{(X+2)}^2}dx`

=`5\ln\left|x-2\right|+\frac6{(X+2)}+C`

Jadi, `\int\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}dx`=`5\ln\left|x-2\right|+\frac6{(X+2)}+C`

 

 

 

 


Label:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Integral Tentu - Pendahuluan Luas

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas materi Integral Tentu.  Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang. 1.Luas Menurut Poligon Dalam Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2` , sumbu –x, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang `0\leq x\leq2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `\triangle x=2/n`, dan memakai titik-titik : `0=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=2`, sehingga: `x_0=0 x_1=0+\triangle x=2/n=1\left(2/n\right)` `x_2=0+2\triangle x=4/n=2\left(2/n\right)` `x_3=0+3\triangle x=6/n=3\left(2/n\right)` . . . `x_n=0+n\triangle x=n\left(2/n\right)=2` Pada gambar tampak bahwa `L\left(P\right)_{dalam}<L\left(P\right)_{luar}` Luas poligon dalam : `L\left(P_{dalam}\right...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Integral Tentu - Pengertian, Sifat-sifat, Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan mengenai materi Integral Tentu yakni Pengertian, Sifat-sifat, serta  Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata. Simak pembahasannya di bawah ini! 1.   Pengertian Integral Tentu Misalkan L adalah luas di bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, maka luas L ditentukan oleh hubungan `L=\int_a^bf(x)\ dx` Bentuk   `\int_a^bf(x)\ dx`dinamakan sebagai integral tentu atau integral Riemann dan   `\int_a^bf(x)\ dx` dibaca sebagai integral tentu f(x) terhadap x untuk x = a sampai x = b. Untuk menentukan nilai dari `\int_a^bf(x)\ dx`, kita dapat menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang ditemukan secara terpisah oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727) di Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716) di Jerman. Teorema Dasar Kalkulus Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secar...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Aplikasi Integral Tertentu - Volume Benda Putar Bagian 1

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan dari materi Aplikasi Integral Tertentu yaitu Volume Benda Putar. Simak pembahasannya di bawah ini.   B. Volume Benda Putar   Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar 1. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas dikalikan tinggi h, yakni  V=A . h Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada adalah x adalah `A(x)` dengan `a\leq x\leq b` (Gambar 2). Kita partisikan interval dengan menyisipkan titik-titik `a=x_0<x_1<x_2<...<x_i=b`. Kemudian kita lewatkan bidang-b...
Posting Komentar
Baca selengkapnya