Langsung ke konten utama

Integral Parsial

Integral parsial dapat disebut sebagai rumus integral substitusi ganda karena menggunakan dua buah substitusi. Teknik ini digunakan untuk menyelesaikan integral `\int`𝑢 𝑑𝑣, dimana 𝑢 dan 𝑣 merupakan fungsi-fungsi dalam variabel x. 

Misalkan fungsi 𝑢 = 𝑢(𝑥) dan fungsi 𝑣 = 𝑣(𝑥). Hasil kali kedua fungsi itu ditentukan oleh 𝑦 = 𝑢𝑣. Berdasarkan aturan turunan hasil kali fungsi-fungsi, maka diperoleh hubungan: 

𝑦 ′ = 𝑢 ′𝑣 + 𝑢𝑣′

`\Rightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}`

`\Rightarrow dy=v\ du+u\ dv`

Masing-masing ruas diintegralkan

`\Rightarrow\int dy=\int(v\ du+u\ dv)`

`\Rightarrow\int dy=\int v\ du+\int u\ dv`

`\Rightarrow y=\int v\ du+\int u\ dv`

`\Rightarrow uv=\int v\ du+\int u\ dv`

`\Rightarrow\int u\ dv=uv-\int v\ du`

Hubungan di atas menunjukkan bahwa integral ∫ 𝑢 𝑑𝑣 dapat diubah menjadi integral ∫ 𝑣 𝑑𝑢 dan sebaliknya. Untuk menggunakan rumus integral parsial, perlu diperhatikan bahwa bagian yang dipilih sebagai 𝑑𝑣 harus dapat diintegralkan dan ∫ 𝑣 𝑑𝑢 harus lebih sederhana (mudah diselesaikan).

Integral parsial dapat juga diselesaikan dengan teknik Tanzalin. Pada teknik ini, dibuat 3 kolom. Kolom pertama berisi fungsi yang akan diturunkan (𝑢) dimana hasil turunan yang kemudian diturunkan lagi (turunan pertama, kedua, ketiga dst) dipastikan akan menuju ke 0 , kolom kedua berisi fungsi yang akan diintegralkan (𝑑𝑣) dan kolom ketiga berisi hasil perkalian 𝑢 = 𝑓(𝑥) dan  `\int`𝑑𝑣, dengan tanda positif dan negatif yang selang seling.

Sebagai contoh, untuk mencari `\int`𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, dengan 𝑢 = 𝑓(𝑥) dan 𝑑𝑣 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥.


Tentukan nilai dari `\int x{(x-3)}^5dx`

Alternatif Penyelesaian 1

Misalkan, 

`u=x\Rightarrow du=dx`

`dv={(x-3)}^5dx`

`v=\frac{1}{6}{(x-3)}^6`

Rumus integral parsial

`\int u\ dv=uv-\int v\ du`

Dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int x{(x-3)}^5dx`

=`x.\frac{1}{6}{(x-3)}^6-\int\frac{1}{6}{(x-3)}^6dx`

=`\frac{1}{6}x{(x-3)}^6-\frac{1}{6}.\frac{1}{7}{(x-3)}^7+C`

=`\frac{1}[6}x{(x-3)}^6-\frac{1}{42}{(x-3)}^7+C`

=`\frac1{42}{(x-3)}^6(7x-(x-3))+C`

=`\frac1{42}{(x-3)}^6(6x+3)+C`

Alternatif Penyelesaian 2 

`\int x{(x-3)}^5dx`

Dengan teknik Tanzalin

Dipilih 𝑢 = 𝑥, dan `dv={(x-3)}^5` 𝑑x

Sehingga,

`\int x{(x-3)}^5dx`

=`\frac{1}[6}x{(x-3)}^6-\frac{1}{42}{(x-3)}^7+C`

=`\frac1{42}{(x-3)}^6(7x-(x-3))+C`

=`\frac1{42}{(x-3)}^6(6x+3)+C`


Tentukan penyelesaian dari `\int\frac{6x}{\sqrt[3]{3x-1}}dx`

Alternatif penyelesaian:

`\int\frac{6x}{\sqrt[3]{3x-1}}dx`=`\int6x{(3x-1)}^{-1/3}dx`

Dengan teknik Tanzalin, Dipilih 𝑢 = 6𝑥, dan `dv={(3x-1)}^{1/3}` 𝑑x

Sehingga,

`\int\frac{6x}{\sqrt[3]{3x-1}}dx`

=`3x(3x-1)^{2/3}-\frac{3}{5}(3x-1)^{5/3}+C`




Label:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Integral Tentu - Pendahuluan Luas

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas materi Integral Tentu.  Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang. 1.Luas Menurut Poligon Dalam Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2` , sumbu –x, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang `0\leq x\leq2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `\triangle x=2/n`, dan memakai titik-titik : `0=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=2`, sehingga: `x_0=0 x_1=0+\triangle x=2/n=1\left(2/n\right)` `x_2=0+2\triangle x=4/n=2\left(2/n\right)` `x_3=0+3\triangle x=6/n=3\left(2/n\right)` . . . `x_n=0+n\triangle x=n\left(2/n\right)=2` Pada gambar tampak bahwa `L\left(P\right)_{dalam}<L\left(P\right)_{luar}` Luas poligon dalam : `L\left(P_{dalam}\right...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Integral Tentu - Pengertian, Sifat-sifat, Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan mengenai materi Integral Tentu yakni Pengertian, Sifat-sifat, serta  Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata. Simak pembahasannya di bawah ini! 1.   Pengertian Integral Tentu Misalkan L adalah luas di bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, maka luas L ditentukan oleh hubungan `L=\int_a^bf(x)\ dx` Bentuk   `\int_a^bf(x)\ dx`dinamakan sebagai integral tentu atau integral Riemann dan   `\int_a^bf(x)\ dx` dibaca sebagai integral tentu f(x) terhadap x untuk x = a sampai x = b. Untuk menentukan nilai dari `\int_a^bf(x)\ dx`, kita dapat menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang ditemukan secara terpisah oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727) di Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716) di Jerman. Teorema Dasar Kalkulus Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secar...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Aplikasi Integral Tertentu - Volume Benda Putar Bagian 1

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan dari materi Aplikasi Integral Tertentu yaitu Volume Benda Putar. Simak pembahasannya di bawah ini.   B. Volume Benda Putar   Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar 1. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas dikalikan tinggi h, yakni  V=A . h Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada adalah x adalah `A(x)` dengan `a\leq x\leq b` (Gambar 2). Kita partisikan interval dengan menyisipkan titik-titik `a=x_0<x_1<x_2<...<x_i=b`. Kemudian kita lewatkan bidang-b...
Posting Komentar
Baca selengkapnya