Langsung ke konten utama

Integral Fungsi Trigonometri


Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:


A.  `\int\sin^mx\ dx\ dan\ \int\cos^mx\ dx` dengan m bilangan ganjil atau genap positif

a.  Jika m bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi (𝑚 − 1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas `\sin^2x+\cos^2x=1`.

`\int\sin^3x\ dx.`

Alternatif Penyelesaian :

`\int\sin^3x\ dx.`=`\int\sin^{(3-1)+1}x\ dx`

                           =`\int\sin^2x\ \sin\ x\ dx`

                           =`\int(1-\cos^2x)d(-\cos\ x)`

                           =`\int1d(-\cos\ x)+\int\cos^2d(\cos\ x)`

                           =`-\cos\ x\ +\ \frac{1}{3}\cos^3x\ +\ C`

b.  Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan identitas:

`\sin^2x=\frac{1-\cos\ 2x}2\ dan\ \cos^2x=\frac{1+\cos\ 2x}2.`

 

`\int\sin^2x\ dx`

Alternatif Penyelesaian :

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka :

`\int\sin^2x\ dx`=`\int\frac{1-\cos\ 2x}2dx`

                       =`\int\frac{1}{2}dx-\int\frac{1}{2}\cos\ 2x\ dx`

                       =`\frac x2-\frac{\sin\ 2x}4\ +\ C`

 

B.  `\int\sin^mx\ \cos^nx\ dx`

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas `\sin^2x+\cos^2x=1`.

 

`\int\sin^2x\ \cos^3x\ dx`

Alternatif Penyelesaian :

Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap

`\int\sin^2x\ \cos^3x\ dx`=`\int\sin^2x\ \cos^2x\ \cos\ x\ dx`

                                        =`\int\sin^2x(1-\sin^2x)d(\sin\ x)`

                                        =`\int\sin^2x\ d(\sin\ x)-\int\sin^4x\ d(\sin\ x)`

                                        =`\frac{1}{3}\sin^3x-\frac{1}{5}\sin^5x+C`

 

C.  `\int\tan^nx\ dx\ dan\ \int cot^nx\ dx`

- Untuk kasus `\int\tan^nx\ dx`, faktorkan tan 𝑥 kemudian gunakan identitas `\tan^2x=sec^2x-1`

- Untuk kasus `\int cot^nx\ dx`, faktorkan cot 𝑥 kemudian gunakan identitas `cot^2x=csc^2x-1`

 

`\int\tan^3x\ dx`

Alternatif Penyelesaian :

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas `1+\tan^2x\ =sec^2x`.

Sehingga diperoleh

`\int\tan^3x\ dx`=`\int\tan^2x\ \tan\ x\ dx`

                           =`\int(sec^2x-1)\ \tan\ x\ dx`

                           =`\int sec^2\ \tan\ x\ dx-\int\tan\ x\ dx`

                           =`\int\ \tan\ x\ sec^2dx-\ln\|sec\ x\|+C`

                           =`\int\ \tan\ x\ d(\tan\ x)-\ln\|sec\ x\|+C`

                           =`\frac{1}{2}\tan^2x -\ln\|sec\ x\|+C`

 

D.  `\int\tan^mx\ sec^{n\ }x\ dx\ dan\ \int cot^mx\ csc^nx\ dx`

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan `1+\tan^2x\ =sec^2x` atau `1+cot^2x=csc^2x`. Begitu juga dengan ganjil

 

`\int\tan^5x\ sec^4x\ dx`

Alternatif Penyelesaian :

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas `1+\tan^2x\ =sec^2x`, sehingga diperoleh :

`\int\tan^5x\ sec^4x\ dx`=`\int\tan^5x\ {(sec^2x)}^2\ dx`

                                       =`\int\tan^5x\ (1+\tan^2x)\ sec^2x\ dx`

                                       =`\int(\tan^5x+\tan^7x)d(\tan\;x)`

                                       =`\frac{1}{6}\tan^6x+\frac18\tan^8x\ +\ C`


E. `\int\sin\ mx\ \cos\ nx\ dx,\ \int\sin\ mx\ \sin\ nx\ dx,\ \int\cos\ mx\ \cos\ nx\ dx`

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

 

`\int\sin\ 3x\ \cos\ 4x\ dx`

Alterntif Penyelesaian :

`\int\sin\ 3x\ \cos\ 4x\ dx`=`\int\frac{1}{2}\lbrack\sin\ (3+4)x\ +\ \sin\ (3-4)x\rbrack dx`

                                        =`\frac{1}{2}\int\sin\ 7x\ +\ \sin(-x)dx`

                                        =`-\frac{1}{14}\cos\ 7x-\frac{1}{2}\cos\ x\ +\ C`

 



 

 



Label:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Integral Tentu - Pendahuluan Luas

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas materi Integral Tentu.  Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang. 1.Luas Menurut Poligon Dalam Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2` , sumbu –x, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang `0\leq x\leq2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `\triangle x=2/n`, dan memakai titik-titik : `0=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=2`, sehingga: `x_0=0 x_1=0+\triangle x=2/n=1\left(2/n\right)` `x_2=0+2\triangle x=4/n=2\left(2/n\right)` `x_3=0+3\triangle x=6/n=3\left(2/n\right)` . . . `x_n=0+n\triangle x=n\left(2/n\right)=2` Pada gambar tampak bahwa `L\left(P\right)_{dalam}<L\left(P\right)_{luar}` Luas poligon dalam : `L\left(P_{dalam}\right...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Integral Tentu - Pengertian, Sifat-sifat, Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan mengenai materi Integral Tentu yakni Pengertian, Sifat-sifat, serta  Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata. Simak pembahasannya di bawah ini! 1.   Pengertian Integral Tentu Misalkan L adalah luas di bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, maka luas L ditentukan oleh hubungan `L=\int_a^bf(x)\ dx` Bentuk   `\int_a^bf(x)\ dx`dinamakan sebagai integral tentu atau integral Riemann dan   `\int_a^bf(x)\ dx` dibaca sebagai integral tentu f(x) terhadap x untuk x = a sampai x = b. Untuk menentukan nilai dari `\int_a^bf(x)\ dx`, kita dapat menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang ditemukan secara terpisah oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727) di Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716) di Jerman. Teorema Dasar Kalkulus Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secar...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Aplikasi Integral Tertentu - Volume Benda Putar Bagian 1

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan dari materi Aplikasi Integral Tertentu yaitu Volume Benda Putar. Simak pembahasannya di bawah ini.   B. Volume Benda Putar   Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar 1. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas dikalikan tinggi h, yakni  V=A . h Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada adalah x adalah `A(x)` dengan `a\leq x\leq b` (Gambar 2). Kita partisikan interval dengan menyisipkan titik-titik `a=x_0<x_1<x_2<...<x_i=b`. Kemudian kita lewatkan bidang-b...
Posting Komentar
Baca selengkapnya