Integral Tak Wajar

Halo teman-teman! Pada kesempatan kali ini kita akan membahas materi mengenai Integral Tak Wajar. Sebelum membahas konsep tentang Integral Tak Wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

Teorema: 

Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka `\int_a^bf\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)`.

Contoh

1. `\int_2^4\left(1-x\right)dx=\left[x-\frac1{2}x^2\right]_2^4`

`=\left(4-\frac12.1{6}\right)-\left(2-\frac1{2}.4\right)`

`=-4-0`

`=-4`

2. `\int_1^2\frac{dx}{1+x}=\[\ln|1+x|\right]_1^2`

`=\ln\left(1+2\right)-\ln\left(1+1\right)`

`=\ln3-\ln2`

3. `\int_1^2\frac{dx}{\sqrt{1-x}}`, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran `f\left(x\right)=\frac1{\sqrt{1-x}}` tidak terdefinisi pada `x=1`.

4. `\int_{-1}^1\frac{dx}x`, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran `f\left(x\right)=\frac1{x}` tidak terdefinisi di `x=0`.

Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

Bentuk `\int_a^bf\left(x\right)dx` disebut Integral Tidak Wajar jika: 

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus `\int_a^bf\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)` tidak berlaku lagi.

Contoh

1. `\int_0^4\frac{dx}{4-x}`, `f(x)` tidak kontinu di batas atas `x = 4` atau `f(x)` kontinu di `[0,4)`

2. `\int_1^2\frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, `f(x)` tidak kontinu di batas bawah `x = 1` atau `f(x)` kontinu di `(1,2]`

3. `\int_0^4\frac{dx}{\left(2-x\right)^{\frac{2}{3}}}`, `f(x)` tidak kontinu di `x = 2 \in [0,4]` atau `f(x)` kontinu di  `[0,2)\cup(2,4]`

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

1. `\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+4}`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty`

2. `\int_{-\infty}^0e^{2x}dx`, integran `f(x)` memuat batas bawah di `x = -\infty`

3. `\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+4x^2}`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty` dan batas bawah di `x = -\infty`

Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran `f(x)` tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran `f(x)` mempunyai batas di tak hingga `(\infty)`. 

Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu dan Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga. 

Integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. `f(x)` kontinu di `[a,b)` dan tidak kontinu di `x = b`

Karena `f(x)` tidak kontinu di `x = b`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x=b-\varepsilon\left(\varepsilon\rightarrow0^+\right)`, sehingga

`\int_a^bf\left(x\right)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f\left(x\right)dx`

Karena batas atas `x=b-\varepsilon\left(x\rightarrow b^-\right)`, maka

`\int_a^bf\left(x\right)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}\int_a^tf\left(x\right)dx`

Contoh

1. `\int_0^4\frac{dx}{\sqrt{4-x}}=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_0^{4-\varepsilon}\frac{dx}{\sqrt{4-x}}` `f(x`) tidak kontinu di batas atas `x = 4`, sehingga

`=\left[\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}-2\sqrt{4-x}\right]_0^{4-\varepsilon}`

`=-2\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left[\sqrt{4-\left(4-\varepsilon\right)}-\sqrt{\left(4-0\right)}\right]`

`=-2\left(\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\sqrt\varepsilon-\sqrt4\right)`

`=-2\left(0-2\right)`

`=4`

2. `\int_0^4\frac{dx}{\left(4x\right)^{\frac3{2}}}=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\frac2{\sqrt{4-x}}]\_0^{4-\varepsilon}` `f(x)` tidak kontinu di batas atas `x = 4` sehingga diperoleh

`\int_0^4\frac{dx}{\left(4x\right)^{\frac3{2}}}=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left[\frac2{\sqrt{4-\left(4-\varepsilon\right)}}-\frac2{\sqrt{4-0}}\right]`

= tidak berarti, karena mempunyai bentuk `\frac{2}{0}`

b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a

Karena `f(x)` tidak kontinu di `x = a`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x=a+\varepsilon\left(\varepsilon\rightarrow0^+\right)`, sehingga

`\int_a^bf\left(x\right)dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{a+\varepsilon}^bf\left(x\right)dx`

Karena batas bawah `x=a+\varepsilon\left(x\rightarrow a^-\right)`, maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain :

`\int_a^bf\left(x\right)dx=\lim_{t\rightarrow a^+}\int_t^bf\left(x\right)dx`

Contoh

1. `\int_3^4\frac{3dx}{\sqrt{x3}}=\lim_{t\rightarrow3^+}\int_t^4\frac{3dx}{\sqrt{x-3}}`

`=\lim_{t\rightarrow3^+}\left[3\left(2\right)\sqrt{x-3}\right]_t^4`

`=\lim_{t\rightarrow3^+}\left[6\sqrt{4-3}-6\sqrt{t-3}\right]`

`=6(1)-6(0)`

`=6`

2. `\int_0^1\ln xdx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left[x\ln x-x\right]_{0+\varepsilon}^1` , `f(x)` tidak kontinu di batas bawah `x = 0`

`=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left[\left(1\ln1-1\right)-\left(0+\varepsilon\right)\ln\left(0+\varepsilon\right)-\left(0+\varepsilon\right)\right]`

`=(1.0-1)-(0-0)`

`=-1`

c. `f(x)` kontinu di `[a,c)\cup(c,b]` dan tidak kontinu di `x = c`

Karena `f(x)` tidak terdefinisi di `x = c` , maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x=c+\varepsilon` dan `x=c-\varepsilon\left(\varepsilon\rightarrow0^+\right)` sehingga, 

`\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_a^cf\left(x\right)dx+\int_c^bf\left(x\right)dx`

`=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_a^{c-\varepsilon}f\left(x\right)dx+\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{c-\varepsilon}^bf\left(x\right)dx`

Dapat juga dinyatakan dengan

`\int_a^bf\left(x\right)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}\int_a^tf\left(x\right)dx+\lim_{t\rightarrow a^+}\int_t^bf\left(x\right)dx`

Contoh

1. `\int_{-1}^8x^{-\frac1{3}}dx`, tidak kontinu di `x=0`, sehingga diperoleh 

`\int_{-1}^0x^{-\frac1{3}}dx+\int_0^8x^{-\frac1{3}}dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{-1}^{0-\varepsilon}x^{-\frac1{3}}dx+\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{0+\varepsilon}^8x^{-\frac1{3}}dx`

`=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left[\frac3{2}x^\frac{2}{3}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left[\frac{3}{2}x^\frac2{3}\right]_{0+\varepsilon}^8`

`=\frac{-3}{2}+6`

`=\frac{9}{2}`

2. `\int_{-1}^1\frac{dx}{x^4}`, `f(x)` diskontinu di `x=0`, sehingga diperoleh

`\int_{-1}^1\frac{dx}{x^4}=\int_{-1}^0\frac{dx}{x^4}+\int_0^1\frac{dx}{x^4}`

`=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{-1}^{0-\varepsilon}\frac{dx}{x^4}+\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_{0+\varepsilon}^1\frac{dx}{x^4}`

`=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left[\frac{-1}{3x^3}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\left[\frac{-1}{3x^3}\right]_{0+\varepsilon}^8`

= tidak berarti karena memuat bentuk `\frac{1}{0}`

Integral tak wajar dengan batas tak hingga

a. Intergral tak wajar dengan batas atas `x=\infty`

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

`\int_a^\infty f\left(x\right)dx=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_a^tf\left(x\right)dx`

Contoh

1.`\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+1}=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_0^t\frac{dx}{x^2+1}`

`=\lim_{t\rightarrow\infty}\left[\frac{1}{2}arc\tan\frac {x}{2}\right]_0^t`

`=\lim_{t\rightarrow\infty}\left[\frac{1}{2}arc\tan\frac{t}{2}-\frac{1}{2}arc\tan0\right]`

`=\left(\frac{1}{2}.\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}.0\right)`

`=\frac{\pi}{4}`

2. `\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_1^t\frac{dx}{x^2}`

`=\lim_{t\rightarrow\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^t`

`=\lim_{t\rightarrow\infty}\left[-\frac{1}{t}+1\right]_1^t`

`=1`

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di `x=-\infty`

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

`\int_{-\infty}^af\left(x\right)dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\int_t^af\left(x\right)dx`

Contoh

1. `\int_{-\infty}^0e^{2x}dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_t^0` 

`\int_{-\infty}^0e^{2x}dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{2}.1-\frac{1}{2}e^{2t}\right]`

`=\frac{1}{2}-0`

`=\frac{1}{2}`

2. `\int_{-\infty}^0\frac{dx}{\left(4-x\right)^2}=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{\left(4-x\right)}\right]_t^0`

`=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left[\frac1{\left(4-t\right)}+\frac1{\left(4-0\right)}\right]`

`=0+\frac{1}{4}`

`=\frac{1}{4}`

c. Integral tak wajar batas atas `x=\infty` dan batas bawah di `x=-\infty`  

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan `\int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^af\left(x\right)dx+\int_a^\infty f\left(x\right)dx` sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:

`\int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^af\left(x\right)dx+\int_a^\infty f\left(x\right)dx`

`=\lim_{t\rightarrow-\infty}\int_t^af\left(x\right)dx+\lim_{t\rightarrow-\infty}\int_a^tf\left(x\right)dx`

Contoh

1. `\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+4x^2}=\int_{-\infty}^0\frac{dx}{1+4x^2}+\int_0^\infty\frac{dx}{1+4x^2}`

`=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left[arc tgn 4x\right]_t^0+\lim_{t\rightarrow-\infty}\left[arc tgn 4x\right]_0^t`

`=\frac{\pi}{2}`

2. `\int_{-\infty}^\infty\frac{e^xdx}{e^{2x}+1}=\int_{-\infty}^0\frac{e^xdx}{e^{2x}+1}+\int_0^\infty\frac{e^xdx}{e^{2x}+1}`

`=\lim_{t\rightarrow-\infty}\int_t^0\frac{e^xdx}{e^{2x}+1}+\lim_{t\rightarrow\infty}\int_0^t\frac{e^xdx}{e^{2x}+1}`

`=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left(arc tgn e^x\right)_t^0+\lim_{t\rightarrow\infty}\left(arc tgn e^x\right)_0^t`

`=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-0`

`=\frac{\pi}{2}`

Sekian pembahasan kita mengenai materi Integral Tak Wajar. Semoga bermanfaat.