Penulisan Jumlah dan Sigma

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas materi Penulisan Jumlah dan Sigma. Notasi sigma sangat penting dalam matematika karena ada beberapa materi yang menggunakan notasi sigma seperti "Jumlah Riemann" untuk luas suatu daerah tertentu, "Barisan dan Deret", "Matematika Keuangan" serta "Induksi Matematika".

Pengertian Notasi Sigma

Notasi Sigma yang ditulis dengan lambang Σ adalah sebuah huruf Yunani yang berasal dari kata asing “sum” yang artinya jumlah. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan pemjumlahan bentuk Panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel  berindeks atau suku-suku suatu deret. Penjumlahan pada notasi sigma dilakukan dengan meningkatkan indeksnya satu dari batas bawah sampai batas atasnya.

Penulisan Sigma

Jika diketahui suatu barisan tak berhingga `a_1,\ a_2,\ a_3,\ ...,\ a_n` maka jumlah dari n suku pertama barisan tersebut dinyatakan dengan `\sum_{k=1}^nak.` artinya bentuk

`\sum_{k=1}^nak=\ a_1+a_2+a_3+...+a_n.`

Catatan :

*). Indeks k bertambah sat uterus dari batas bawah (k=1) sampai batas atas (k=n).

*). Indeks k bisa diganti dengan huruf lain, misalkan I, j, dan lainnya.

*). `a_k` adalah suatu fungsi dengan variabel k

Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah.

Contoh 1

` \overset5{\underset{k=1}{\sum\ }}2k=2+4+6+8+10`

` \overset4{\underset{k=0}{\sum\ }}(2k+2)=2+4+6+8+10`

` \overset6{\underset{k=2}{\sum\ }}(2k-2)=2+4+6+8+10`

Perubahan Indeks Jumlah

Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin menganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut ini diberikan satu contoh illustrasi bahwa hal ini mungkin dilakukan.

Contoh 2

nyatakan `\sum_{k=3}^7 5^{k-2}` dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol.

Penyelesaian :

misalkan indeks baru adalah , maka

j = k – 3

sehingga jika k=3, maka j=0 , dan jika k=7, maka j=4. Jadi j bergerak dari j=0 sampai j=4. Sehingga,

`\sum_{k=3}^7 5^{k-2}=\sum_{j=0}^4 5^{(j+3)-2}=\sum_{j=0}^4 5^{j+1}`

Kita dapat mengecek bahwa  `\sum_{k=3}^7 5^{k-2}` adalah `5+5^2+5^3+5^4+5^5` 

Sifat-sifat Σ

Dianggap sebagai operator Σ, beroperasi pada barisan dan operator itu melakukannya secara linear.

Kelinearan Σ Misalkan `(a_i)\ dan\ (b_i)` menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta. Maka :

1.` \sum_{i=1}^n ca_i=c\sum_{i=1}^n a_i;`

2.`\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)=\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=2}^n b_i;`

3.`\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)=\sum_{i=1}^n a_i- \sum_{i=2}^n b_i;`

Contoh 3

` \sum_{I=1}^{100}(2a_i-3b_i+4)`

= `\sum_{I=1}^{100}2a_i-\overset{100}{\underset{I=1}{\sum3b_i}}+\sum_{I=1}^{100}4`

= `\overset{100}{\underset{I=1}{2\sum}}a_i-\overset{100}{\underset{I=1}{3\sum b_i}}+\sum_{I=1}^{100}4`

= 2(60) – 3(11) + 100(4) = 487

Beberapa Jumlah Khusus

Pada bagian ini, kita akan meninjau jumlah dari bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke- yang cukup manis. Deret-deret tersbut diantaranya adalah:

Contoh 4

Hitung `\sum_{k=1}^{30}k(k+1)`

Penyelesaian :

`\sum_{k=1}^{30}k(k+1)=\sum_{k=1}^{30} (k^2 + k)=\sum_{k=1}^{30}k^2=\sum_{k=1}^{30}k`

`=\frac{30(31)(61)}6+\frac{30(31)}2=9920`

Catatan :

Dalam rumus

`\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6`

Atau

`1^2+2^2+3^3+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6`

Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.

Mungkin itu saja informasi yang bisa saya berikan terkait materi Penulisan Jumlah dan Sigma. Semoga bermanfaat.