Langsung ke konten utama

Integral Tak Tentu

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas salah satu materi dalam matematika yakni integral. Pada dasarnya, integral merupakan kebalikan dari turunan/ differensial. Maka integral sering disebut sebagai anti differensial.

Kegunaan integral dalam kehidupan sehari hari amatlah banyak, misalnya untuk menentukan luas suatu bidang, volume benda putar, menentukan panjang bujur, dan lain-lain. Integral dibagi menjadi dua macam, yakni integral tak tentu dan integral tentu. Dan kali ini saya akan membahas mengenai integral tak tentu.


1. Konsep Dasar Integral Tak Tentu

Konsep integral tak tentu merupakan kebalikan atau invers dari pendiferensialan, yaitu anti turunan dari suatu fungsi. Integral tak tentu atau anti diferensial (anti turunan) adalah konsep yang berhubungan dengan proses menemukan suatu fungsi asal F(x) apabila diketahui fungsi turunan F’(x) = f(x).

Untuk memahami hubungan antara operasi integral dan operasi turunan, mari kita tinjau fungsi F(x) yang mempunyai turunan F’(x) = f(x) = `3x^2`.


Perhatikan bahwa masing-masing F(x) pada tabel diatas berbeda hanya pada bagian konstanta saja, sedangkan variabel x selalu berbentuk `x^3`. Himpunan semua fungsi dari operasi integral F’(x) = f(x) = `3x^2` dapat dituliskan F(x) = `x^3+C`, dengan C adalah konstanta dan C ∈ R.

Fungsi F(x) disebut integral dari f(x) pada suatu domain jika F'(x)=f(x),
yaitu anti turunan dari F(x) ke x sama dengan f(x)

Notasi atau lambang untuk menyatakan integral adalah `\int` . Misalkan F(x) menyatakan fungsi dalam x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan C konstanta bilangan real sembarang, maka notasi dari integral tak tentu dari f(x) adalah:

 “`\int f(x)dx`” dibaca “integral 𝑓(𝑥)𝑑𝑥”.

2. Rumus Dasar Integral Tak Tentu


Secara umum, rumus-rumus dasar integral adalah :


3. Contoh Soal Integral Tak Tentu


Tentukan integral tak tentu `\int2x^3dx`

Alternatif Penyelesaian :

`\int2x^3dx`   

= `2\int x^3dx`

= `2.\frac1{3+1}x^{3+1}+C`

= `2/4x^4+C`

= `1/2x^4+C`


 


Tentukan integral tak tentu `\int(2x^3-9x^2+4x-5)dx` . (UNBK Mat IPS 2019)

Alternatif Penyelesaian :

`\int(2x^3-9x^2+4x-5)dx`             

=`\frac2{3+1}x^{3+1}-\frac9{2+1}x^{2+1}+\frac4{1+1}x^{1+1}-5x+C`

=`2/4x^4-9/3x^3+4/2x^2-5x+C`

=`1/2x^4-3x^3+2x^2-5x+C`        

         


 `\int\frac{x^2-\sqrt x}x=...` (SBMPTN 2017 SAINTEK)

 Alternatif Penyelesaian :

 `\int\frac{x^2-\sqrt x}x`

 =`\int\left(\frac{x^2}x-\frac{x^{1/2}}x\right)dx`

 = `\int\left(x-x^{-1/2}\right)dx`

 = `\frac1{1+1}x^2-\frac1{-1/2\+1}x^{-1/2\+1}+C`

 =`1/2x^2-\frac1{1/2\}x^{1/2\}+C`

 =`1/2x^2-2x^{1/2\}+C`

 = `1/2x^2-2\sqrt x+C`


 

`\int\frac{3\left(1-x\right)}{1+\sqrt x}dx=...`(SBMPTN 2017 SAINTEK)

  Alternatif Penyelesaian :

`\int\frac{3\left(1-x\right)}{1+\sqrt x}dx`

=`\int\left(\frac{3\left(1-x\right)}{1+\sqrt x}.\frac{1-\sqrt x}{1-\sqrt x}\right)dx`

=`\int\left(\frac{3\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)}.1-\sqrt x\right)dx`

=`\int3\left(1-\sqrt x\right)dx`

=`3\int\left(1-x^{1/2}\right)dx`

=`3\left(x-\frac1{3/2}x^{3/2}\right)+C`

=`3\left(x-2/3x^{3/2}\right)+C`

=`3x-2x^{3/2}+C`

=`3x-2x\sqrt x+C`

Mungkin itu saja informasi yang bisa saya berikan terkait materi integral tak tentu, soal dan pembahasan. Semoga bermanfaat.


Label:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Integral Tentu - Pendahuluan Luas

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas materi Integral Tentu.  Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang. 1.Luas Menurut Poligon Dalam Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2` , sumbu –x, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang `0\leq x\leq2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `\triangle x=2/n`, dan memakai titik-titik : `0=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=2`, sehingga: `x_0=0 x_1=0+\triangle x=2/n=1\left(2/n\right)` `x_2=0+2\triangle x=4/n=2\left(2/n\right)` `x_3=0+3\triangle x=6/n=3\left(2/n\right)` . . . `x_n=0+n\triangle x=n\left(2/n\right)=2` Pada gambar tampak bahwa `L\left(P\right)_{dalam}<L\left(P\right)_{luar}` Luas poligon dalam : `L\left(P_{dalam}\right...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Integral Tentu - Pengertian, Sifat-sifat, Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan mengenai materi Integral Tentu yakni Pengertian, Sifat-sifat, serta  Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata. Simak pembahasannya di bawah ini! 1.   Pengertian Integral Tentu Misalkan L adalah luas di bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, maka luas L ditentukan oleh hubungan `L=\int_a^bf(x)\ dx` Bentuk   `\int_a^bf(x)\ dx`dinamakan sebagai integral tentu atau integral Riemann dan   `\int_a^bf(x)\ dx` dibaca sebagai integral tentu f(x) terhadap x untuk x = a sampai x = b. Untuk menentukan nilai dari `\int_a^bf(x)\ dx`, kita dapat menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang ditemukan secara terpisah oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727) di Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716) di Jerman. Teorema Dasar Kalkulus Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secar...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Aplikasi Integral Tertentu - Volume Benda Putar Bagian 1

Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan dari materi Aplikasi Integral Tertentu yaitu Volume Benda Putar. Simak pembahasannya di bawah ini.   B. Volume Benda Putar   Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar 1. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas dikalikan tinggi h, yakni  V=A . h Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada adalah x adalah `A(x)` dengan `a\leq x\leq b` (Gambar 2). Kita partisikan interval dengan menyisipkan titik-titik `a=x_0<x_1<x_2<...<x_i=b`. Kemudian kita lewatkan bidang-b...
Posting Komentar
Baca selengkapnya